sábado, 7 de julio de 2012

CONJUNTO Y TÉCNICA DE CONTEO

CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO.
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN CONJUNTOS.
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría
de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918).
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
-La colección de elementos debe estar bien definida.
-Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
-El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
NOTACIÓN: a los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.
FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.
El conjunto de días de la semana.
INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.
El conjunto de los números reales.
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a, e, i, o, u}
COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es
Elemento de, con el símbolo _, en caso contrario _.
A = {1, 2, 3}
2 _ A; 5 _ A
Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.
Al iniciar este trabajo con conjuntos establezcamos que la idea conjunto es un concepto primitivo. No se da una definición de conjunto.
Nos basta, inicialmente, con cualquier idea intuitiva que tengamos. Respecto a la concepción primitiva de conjuntos aceptamos la relación de pertenencia, para un conjunto cualquiera y un objeto indistinto: El objeto pertenece al conjunto o el objeto no pertenece al conjunto.

Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.    
Notación: b Î A; b es un elemento de A
Axioma: Todo conjunto debe estar bien definido
El axioma anterior establece que si un supuesto conjunto no está bien definido, no es conjunto.
Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.
Forma enumerativa o por extensión del conjunto:
Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el conjunto.
p.e.: U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A = { 1,2,3,5,7 }; B = { 0,2,4,6,8 }
Forma descriptiva o por comprensión:
Existe una regla que permite describir los elementos del conjunto.
p.e.: A = { x | x es un numero primo } ó B = { x | x es un numero par }
La línea | significa tal que.


OPERACIONES Y LEYES DE CONJUNTO.
Unión. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.
En consecuencia,
X Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B.
Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:
A + B = {x / x Î A Ú x Î B }

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A intersección B".
En consecuencia,
X Î A· B Û x Î A Ù x Î B.

El conjunto A
· B está dado por:
A· B = {x / x Î A Ù x Î B}.

Gráficamente, una representación de A
· B es:
La región rayada corresponde a A· B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.
En consecuencia,
X Î A' Û x Î 1 Ù x Ï A.
Gráficamente, su representación está dada por:
A' = {x / x Î 1 Ù x Ï A}.

Leyes
Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:
Unión () : A B = { x / x A x B }
Intersección () : A B = { x / x A x B }
Diferencia ( –) : A –B = { x / x A x B }
Complemento ( c ) : Ac = { x / x A }
Diferencia simétrica ( Δ): A Δ B = (A B) –( A B)
Inclusión (): A B ⇔ ∀x, x A x B
PRINCIPALES LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
LEYES DE IDEMPOTENCIA
:
1a) A
A = A 1b) A A = A
LEYES ASOCIATIVAS
2a) (A
B) C = A (B C) 2b) (A B) C = A (B C)
LEYES CONMUTATIVAS
3a) A
B = B A 3b) A B = B A
LEYES DISTRIBUTIVAS
4a) A
(B C) = (A B) (A C) 4b) A (B C) = (A B) (A C)
LEYES DE IDENTIDAD
5a) A
6a) A
∪ ∅= A 5b) A U = AU = U 6b) A ∩ ∅=
LEYES DE COMPLEMENTO
7a) A
Ac = U 7b) A Ac =
8a) ( A
c )c = A 8b) U c = , c = U
LEYES DE De MORGAN
9a) (A
  : El símbolo Ac, que denota el complemento del conjunto A, también se suele denotar como A,
OBSERVACIÓN
o A’
DIAGRAMA DE VEN EULER.
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.
Tipos de diagramas de Venn
Diagrama de dos conjuntos
Conjuntos A y B.
Considérese el ejemplo a la derecha: supóngase que el conjunto A (el círculo anaranjado) representa, por ejemplo, a todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar. El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo dos piernas motrices.
Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna parte del diagrama. Los humanos y los pingüinos estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se superpone con el círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo azul fuera de la intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados por un punto dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura que ni tuviera dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado mediante puntos fuera de ambos círculos.
El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez. El área donde los conjuntos A y B se solapan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas y pueden volar.
Diagrama de Venn mostrando todas las intersecciones posibles entre tres conjuntos A, B y C.
Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 4 áreas diferentes (la cuarta es la exterior), que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:
  • A (dos patas)
  • B (vuelan)
  • A y B (dos patas y vuelan)
  • A y no B (dos patas y no vuelan)
  • no A y B (más o menos de dos patas, y vuelan)
  • no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)
A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de universo de discurso (antes se creía en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand Russell descubrió que con tal concepto el sistema es inconsistente véase paradoja de Russell). Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.
Diagramas de tres conjuntos
Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen SIETE áreas diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.
Más de tres conjuntos
La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representación gráfica) es evidente. Venn sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida diseñó varias de estas representaciones usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.
Diagramas de Venn de Edwards
A. W. F. Edwards diseñó representaciones para diagramas de Venn de más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar fácilmente tres conjuntos tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x=0, y=0 y z=0). Un cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor de su colegio.
Otros diagramas
Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basaban en polígonos intersecados, con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ideó diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en ecuaciones como y=sin(2ix)/2i, 0 ≤i ≤n-2. Por su parte, Lewis Carroll diseñó un diagrama de cinco conjuntos.

Diagramas similares
Diagramas de Euler

B)c = Ac Bc 9b) (A B)c = Ac Bc
Diagrama de Euler.
Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusión de una clase en otra. Por ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A) está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro (el C) no tiene ninguna relación con los dos anteriores.
Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn,[7] pero son distintos. Fueron introducidos por Euler para ayudar en la comprensión. John Venn intenta rectificar algunas deficiencias a través de los Diagramas de Venn.
Supongamos que el conjunto A representa todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el B representa a todos los comestibles existentes en el mundo. Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el diagrama nos permite representar de forma evidente dos afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos de metal, y las cosas hechas de metal no son comestibles.


PRINCIPIOS ADITIVOS Y MULTIPLICATIVO.
Principio aditivo:
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

            M + N +.........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1)    1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:
      M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

     M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

     N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
     W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.
    Solución:

a) V = maneras de ir a las Vegas
D = maneras de ir a Disneylandia

V = 3 x 2 = 6 maneras

D = 3 x 4 = 12 maneras

V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas

     D = maneras de ir y regresar a Disneylandia


V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras

D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras

V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Principio Multiplicativo:
Si una operación puede efectuarse de n maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operación puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el número total ( N ) de maneras diferentes, en que pueden realizarse a la vez ambas operaciones es:

N = n × p
PERMUTACIONES.
DEFINICIÓN: Una permutación es un arreglo de todos ó algunos elementos, en donde una permutación es diferente de otra si el arreglo
ó el contenido es diferente.
Ejemplos:
-Permutaciones diferentes en arreglo: 123 _ 132
-Permutaciones diferentes en contenido: 123 _ 124
a) Se puede permutar los n elementos tomándolos todos a la vez.
b) O bien se puede permutar los n elementos tomando parte de ellos a la vez donde (r < n).
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)
Ejemplo
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
Permutaciones En Subgrupo De n Objetos
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a:
                 nPr =    n!



                         ----

                        (n-r)!
Ejemplo
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?

Solución
n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 60
              ----       ----      ----------------

            (n - r)!   (5 - 3)!        (2)(1)

COMBINACIONES
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a:
               nCr =      n! 
                         ----
                       r! (n-r)! 
Ejemplo
Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?

Solución
nCr =10C3 = n! = 10! =10×9x8×7!=10×9x8=720= 120
            -------     -------  --------- ------ ---
           r(n - r)!   3!(10–3)!   3!x7!    3×2x1  6
Combinaciones representando la probabilidad
En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.
Ejemplo
En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son mujeres y cuatro son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que de una elección aleatoria de los miembros del comité diera por resultado la selección de dos mujeres y un hombre?
F Número de comités con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 =
6! x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60
              2!(6–2)!      1!(4–1)!       2!(4!)       1!(3!)
F Número total de combinaciones posibles = 10 C3 =
      10!        =     10!     =  (10)(9)(8)   =   720   = 120
                    3!(10 - 3)!       3!(7!)         (3)(2)(1)           6
F Probabilidad que sean 2H y 1M =
P(2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.50
                                                                        10 C3                      120
Ejercicios sugeridos
a) Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa para asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?
b) En referencia a la situación descrita en el inciso a, supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos
c) En referencia a la situación descrita en el inciso b, supongamos que seis de los lugares disponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para efectos prácticos. ¿De cuántas maneras pueden elegirse seis de los ocho candidatos para ocupar los seis lugares?
d) Hallar n si n P4 = 42 y n P2
e) Un grupo de proyecto de dos ingenieros y tres técnicos debe formarse a partir de un grupo departamental que incluye a cinco ingenieros y nueve técnicos. ¿Cuántos diferentes grupos de proyecto pueden formarse con los catorce empleados disponibles?
f) En referencia a la situación de asignación descrita en el inciso d, supongamos que los cinco individuos son asignados aleatoriamente a partir de los catorce empleados del departamento, sin referencia al hecho de si cada persona es ingeniero o técnico. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de proyecto incluya a :
1.-Exactamente dos ingenieros;
2.-Ningún ingeniero;
3.-Ningún técnico?
Respuestas:
a) 40320
b) 20160
c) 28
d) 840
e) 1.- P = 0.42, 2.- P = 0.06 y 3.- P = 0.0005


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