estadistica1: TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

ESPACIO MUESTRAL.

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplos de espacios muestrales

1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}.

Tipos de espacio muestral.

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.

Espacio Probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto. Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilístico discreto:

Espacio Probabilístico Discreto Equiprobable

§ Su espacio muestral es finito de tamaño n.

§ La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

, de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es

Espacio Probabilistico Finito

§ Su espacio muestral es discreto finito.

§ Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.

Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

Por ejemplo, imaginemos que se lanza una moneda y un dado de seis caras. La probabilidad de obtener un resultado particular corresponde a la multiplicación de sus probabilidades. Es decir, la probabilidad de obtener «cara» y un tres será:

Ahora bien, la probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los distintos resultados aislados posibles. Así, la probabilidad de sacar siempre un resultado impar en los dados, independientemente del resultado de la moneda, será:

Espacio Probabilistico Infinito Contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo

§ La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ---->

§ La probabilidad de que salga cara en la segunda tirada ---->

§ La probabilidad de que salga cara en la tercera tirada ---->

Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.

Espacio probabilístico continuo

§ Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio.

§ Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asigna a intervalos.

§ Por tanto la función P está definida sobre intervalos ----->

-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

tal que:

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 posibles espacios muestrales para modelar nuestra realidad:

§ Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

§ Ω'={2,3,4,...,12}

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

EVENTOS.

Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C =

Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:

0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje.

P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

Probabilidad de eventos

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.

El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.

En estos casos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace:

P[S] = número de sucesos elementales de S / número total de sucesos elementales

P[S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles

Pierre de Fermat El matemático francés Pierre de Fermat destacó por sus importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y al cálculo diferencial. También contribuyó al desarrollo de la teoría de números.Corbis

La aplicación de la regla de Laplace en casos elementales es muy sencilla. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado:

P[{2, 3, 4, 5}] = 4/6

Pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos elementales y la experiencia admitía, en total, seis posibilidades.

Sin embargo, la aplicación de esta regla en experimentos más complejos requiere el uso de la combinatoria. Por ejemplo, al extraer tres cartas de una baraja y ver la probabilidad de que las tres sean tréboles, el número total de sucesos elementales es C523 = (52•51•50)/(3•2•1) = 22.100. Los casos favorables son C133= (13•12•11)/(3•2•1) = 286. Por tanto, la probabilidad pedida es:

P[TRES TRÉBOLES] = 286/22.100 = 143/11.050

La resolución de este tipo de problemas se simplifica notablemente si consideramos "sacar tres naipes" como una experiencia compuesta por tres experiencias simples: "sacar un naipe y después otro y después otro".

AXIOMA Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD.

Axiomas de probabilidad

Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.

La letra P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.

AXIOMA 1

Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.

AXIOMA 2

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Excluirse mutuamente quiere decir que A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo experimento. Así, la probabilidad de obtener águila o sol en la misma tirada de una moneda será

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

P (A ∪ B) = 1/2 + 1/2 = 1.

En general podemos decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1:

P (A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

AXIOMA 3

Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:

P (A’) = 1 - P(A)

Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra.

Teoremas de la suma de probabilidades

Suponiendo que P(A) y P (B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces P(A ∪ B) significa la probabilidad de que ocurran A o B. Si representamos los eventos A y B en un Diagrama de Venn con A ∩ B = ∅.

Entonces A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden ocurrir en forma simultánea

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

En cambio, si ambos eventos tienen puntos muestrales en común A ∩ B ≠ ∅

ESPACIO FINITO Y EQUIPARABLE.

P (A)= #A/ #E =1/6

Sea E un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

Donde

#A - número de casos favorables

#E - número de casos totales

Se supone que todos los elementos del espacio tienen la misma posibilidad de ocurrir

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila.

Calcular la probabilidad de A:

E = {A, S}

A = {A }

P (A)= #A/ #E =1/2

Ejemplo. Sea el experimento lanzar un dado

Sea A: Obtener el número 6. A= {6}

El espacio muestral (espacio equiprobable)

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDAD CONDICIONAL.

En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.

Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja?
La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

, y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.

Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

Veamos la situación en un diagrama de árbol:

PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES.

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea $A_1, A_2,..., A_n$ una partición sobre el espacio muestral y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B|A_i)$ , entonces la probabilidad del suceso $B$ viene dada por la expresión

Demostración

Por hipótesis tenemos una partición $A_1, A_2, \ldots , A_n$ del espacio muestral $\Omega$ . Por lo tanto el suceso $B$ se puede escribir como

$B = (B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots\cup (B\cap A_n).$

ahora bien, los conjuntos $B\cap A_i$ son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los $A_i$ tampoco lo serían. En consecuencia

$P(B) = P(B\cap A_1) + P(B\cap A_2) + \cdots + P(B\cap A_n).$

Por último, se sabe que $P(C \cap D) = P(D | C)P(C)$ para cualesquiera sucesos $C$ y $D$ . Luego

$P(B) = P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2)P(A_2) + \ldots + P(B | A_n)P(A_n) = \sum_{i = 1}^{n} P(B|A_i)P(A_i),$

que era lo que se quería demostrar.

Teorema de bayes

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763¹ que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea $\{A_1, A_3, ..., A_i, ..., A_n\}$ un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B | A_i)$ . Entonces, la probabilidad $P(A_i | B)$ viene dada por la expresión:

$P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{P(B)}$
donde:

$P(A_i)$ son las probabilidades a priori.

$P(B|A_i)$ es la probabilidad de $B$ en la hipótesis $A_i$ .

$P(A_i|B)$ son las probabilidades a posteriori.

Fórmula de Bayes

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

$P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P(B | A_k) P(A_k)}$

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene $\sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1$ y su demostración resulta trivial.

INDEPENDENCIA.

Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(B½A) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,

                  p(AÇB) = p(A)p(B½A) = p(A)p(B)

Luego,

                                         p(AÇB) = p(A)p(B)               Concepto de independencia

Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.

Ejemplos:

Pruebas repetidas e independientes.

Sea d el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces,

      d = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAS, SAA, SSA, SSS}

Donde cada uno de los elementos de este espacio muestral está formado por tres pruebas repetidas e independientes que son los tres lanzamientos de la moneda, si deseamos determinar la probabilidad de cada uno de los elementos, nos encontraremos con lo siguiente;

p(AAA)=p(A₁ÇA₂ÇA₃)=p(A₁)p(A₂½A₁)p(A₃½A₁ÇA₂)=p(A)p(A)p(A) =1/2*1/2*1/2=1/8

p(AAS) = p(A)p(A)p(S) =1/2*1/2*1/2 =1/8

p(ASA) = p(A)p(S)p(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8

etc, etc.

Con lo anterior se comprueba que efectivamente la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral descrito anteriormente es de 1/8 como se consideraba cuando se calculaban probabilidades para un espacio finito equiprobable.

Ejemplos:

1.      Un equipo de fútbol soccer tiene una probabilidad de ganar de 0.6, una probabilidad de empatar de 0.3 y una probabilidad de perder de 0.1, si este equipo participa en dos juegos la semana próxima, determine la probabilidad de que; a. Gane el segundo juego, b. Gane ambos juegos, c. Gane uno de los juegos, d. Gane el primer juego y empate el segundo.

                                                                        0.6G



0.6 G                          0.3 E

                                    0.1 P

0.3         E                     0.6 G

                                    0.3 E

0.1                                 0.1 P

              P

                                 0.6G

                                0.3 E

                             0.1 P

El espacio muestral sería:

d = {GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP}

Por lo que:

a.       p(gane el segundo juego) = p(GG, EG, PG) = (0.6)(0.6) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6) =

                                                  = 0.36 + 0.18 + 0.06 = 0.6

b.      p(gane ambos juegos) = p(GG) = (0.6)(0.6) = 0.36

c.       p(gane uno de los juegos) = p(GE, GP, EG, PG) = (0.6)(0.3) + (0.6)(0.1) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6)

                                                                                       = 0.18 + 0.06 + 0.18 + 0.06 = 0.48

d.      p(gane el primero y empate el segundo) = p(GE) = (0.6)(0.3) = 0.18

2.Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite, si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses, determine la probabilidad de que; a. Gane dos de las peleas, b. Si gana dos de las peleas, ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y tercera peleas?, c. Gane la segunda pelea.



                                                                        0.8 G

                                                          0.8 G                        0.2 P



                     8/10 = 0.8 G                  0.2   P                         0.8 G



                                                 0.2   P

                  0.2 P         0.8G

                                                                                           0.2 P

                                                     0.2   P                         0.8 G

                                                                                       0.8 G



                                                                                         0.2 P

Del diagrama anterior obtenemos el siguiente espacio muestral;

d={GGG. GGP, GPG, GPP, PGG, PGP, PPG, PPP}

a. p(gane dos de las peleas) = p(GGP, GPG, PGG) = (0.8)(0.8)(0.2) + (0.8)(0.2)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128 + 0.128 + 0.128 = 0.384

b. E = evento de que gane dos peleas

E ={ GGP, GPG, PGG },   p(E) = 0.348

A = evento de que gane la primera y la tercer pelea

A={GGG, GPG}

AÇB = {GPG}, p(AÇB) = (0.8)(0.2)(0.8) =0.128

P(A½E) = p(AÇE) / p(E) = 0.348/0.128= 0.3333

c. p(gane la segunda pelea) = p(GGG, GGP, PGG, PGP) = (0.8)(0.8)(0.8) + (0.8)(0.8)(0.2) + (0.2)(0.8)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.2) = 0.512 + 0.128 + 0.128 + 0.032= 0.8

3.Tres hombres tiran a un blanco, A tiene 1/3 de posibilidades de acertar al blanco, B tiene 1/2 de posibilidades de acertar y C tiene 1/4 de posibilidades de pegar al blanco, si cada uno de ellos hace un solo disparo, determine la probabilidad de que; a. Solo uno de ellos acierte al blanco, b. Si solo uno de ellos acierta al blanco, ¿cuál es la probabilidad de que acierte A?, c. Determine la probabilidad de que ninguno acierte al blanco.

      Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol se obtiene el siguiente espacio muestral;

d ={ABC, ABC`, AB`C, AB`C`, A`BC, A`BC`, A`B`C, A`B`C`}

donde: A = acierta A, A`= no acierta A, B = acierta B, B`= no acierta B, etc., etc.

p(solo uno de ellos acierte al blanco) = p(AB`C`, A`BC`, A`B`C) = 1/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*1/4 = 3/24 + 6/24 + 2/24 = 11/24 = 0.45833

a.       E = evento de que solo uno de ellos acierte al blanco

E = {AB`C`, A`BC`, A`B`C};     p(E) =11/24

A = evento de que A acierte al blanco = { ABC, ABC`, AB`C, AB`C`}

AÇE = { AB`C`} = 1/3*1/2*3/4 = 3/24

p(A½E)= p(AÇE)/p(E) = (3/24)/(11/24) = 3/11 = 0.27273

b.      p(ninguno acierte al blanco) = p(A´B´C´) = 2/3*1/2*3/4 = 6/24 = 0.25
P (A)= #A/ #E =1

estadistica1

sábado, 7 de julio de 2012

TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

Fórmula de Bayes

Aplicaciones

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